ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГАРМОНИЧЕСКОГО СЛУХА, СТРОЕНИЯ МУЗЫКАЛЬНЫХ ИНТЕРВАЛОВ, АККОРДОВ И ЛАДОВ
Эта работа находится на стыке двух научных дисциплин – физики музыкальных звуков и музыковедения. В ней рассматриваются самые глубокие корни явления, называемого музыкой и объективные законы его развития.
С самых общих позиций все музыкальные явления можно рассматривать как результат воздействия музыкальных гармонических сигналов на слуховой аппарат человека и дальнейшую обработку этого результата в слуховом центре коры головного мозга.
Слуховой же аппарат – безотносительно к его устройству – можно рассматривать как некую нелинейную среду, через которую проходит звуковой сигнал, преображаясь в выходной, по-видимому, электромагнитной природы. (Сигнал этот далее поступает в соответствующий центр коры головного мозга, где анализируется и обрабатывается по законам, близким к законам речевого центра, но значительно более сложным, чему мы и обязаны наличием мелодического слуха. Подробно эта тема изучается сравнительно молодой наукой – музыкальной психолингвистикой, и мы ее здесь затрагивать не будем). Нас будут интересовать законы преобразования звуковых сигналов в нелинейных средах, частным случаем которых является наш слуховой аппарат – барабанная перепонка, наковальня, молоточек, улитка и т.д. Законы эти обусловлены известным в физике нелинейных сред явлением, называемым перекрестной интермодуляцией, благодаря которому, в конечном итоге, и возникает то, что принято называть гармоническим музыкальным слухом.
Известно (см. например, учебник «Музыкальная акустика» профессора Гарбузова), что передаточная характеристика слухового аппарата человека описывается следующим графиком (см. рис. 1):
Входной сигнал в нашем случае – это периодический акустический сигнал, поступающий на ушную раковину.
Выходной сигнал – сигнал, поступающий в слуховой центр коры головного мозга из слухового аппарата.
В такой системе, рассматриваемой в качестве нелинейной, при воздействии на вход чистого тона – синусоиды – на выходе возникает целый ряд, спектр, слабых тонов, которые называют гармониками. Частоты гармоник имеют целочисленные соотношения к основному тону с частотой f, т.е. 2f, 3f, 4f и т.д. Количество гармоник зависит от степени нелинейности передаточной характеристики – чем они выше, тем больше гармоник, а амплитуды – от ее конкретной формы (см. рис. 2):
Гармоники и основной тон образуют звукоряд, который называют натуральным. Например, беря в качестве входного (основного) тона ноту «До» большой октавы, получим следующий натуральный звукоряд:
Как видно, чем выше тесситура, тем плотнее расположены гармоники – вплоть до четверти тонов и менее. (Еще раз подчеркнем, что рассматриваемые гармоники образуются в слуховом аппарате человека и не имеют ничего общего с гармоническими составляющими звука любого живого инструмента, определяющими его тембр. В принципе, человек с очень развитым гармоническим слухом может услышать эти «внутренние» гармоники как очень слабые призвуки, имеющие флейтовую окраску, источник которых локализован «внутри» головы).
Более сложный результат получается при воздействии на вход слухового аппарата двух чистых тонов (синусоид) с частотами f1 и f2. В этом случае на выходе появляется очень плотный спектр слабых по интенсивности частот, расположенных как выше, так и ниже основных тонов. В этот спектр входят как гармоники основных тонов – 2f; 3f; 4f; 5f и т.д., 2f2; 3f2; 4f2 и т.д., так и всевозможные их комбинации, например 2f1-f2; 3f1-f2; 4f1-f2; 3f1-2f2; 4f1-2f2; 4f1-3f2 и т.д.
Получаемые при этом зависимости приведены на графике (рис. 4). Здесь на оси абсцисс отложены отношения частот на входе f2/f1, по оси ординат отношения частот гармоник к основной частоте f1. (Для того чтобы не загромождать график, на нем не изображены гармоники с четными номерами, т.е. исключены октавные удвоения). Для удобства интерпретации графика под осью абсцисс и слева от оси ординат нанесены буквенные обозначения нот натурального строя, соответствующие этим точкам. (При этом за исходный звук принята нота «До»). Римскими цифрами вдоль оси ординат обозначены относительные исходной ноте номера октав.
Для того чтобы определить положение гармонии при каком-либо отношении входных частот, достаточно провести вертикальную линию из соответствующей точки на оси абсцисс, и затем горизонтальные линии из точек пересечения вертикали с диагоналями гармоник до оси ординат, где нужно считать значения отношения частот или положение полученных нот по отношению к натуральному строю.
Как видно из графика, при некоторых значениях отношения f2/f1, часть гармоник совпадает, образуя узловые точки, расположенные по вертикали (при этом амплитуды гармоник суммируются), и картина резко упрощается, приводя к почти скачкообразному уменьшению в несколько раз числа гармоник, а, следовательно, объема информации поступающей из слухового аппарата в корковый центр, а также к увеличению «громкости» гармоник, облегчая тем самым обработку информации. Такую упорядоченную ситуацию наш мозг каким-то образом умеет отличать от предыдущей, близкой к хаотической, как качественно иную, и даже окрашивает ее положительными эмоциями.
Это явление и есть то, что называют музыкальными интервалами, а значения отношения частот, при которых оно возникает, называются интервальными коэффициентами.
Гармоники, находящиеся в узловых точках, уместно назвать «интервальными унтертонами», если они находятся ниже основных нот, и «интервальными обертонами», если выше. (Не путать с обертонами, составляющими тембр инструмента).
Прежде, чем двигаться дальше, обсудим некоторые аспекты достигнутых результатов.
Во-первых: музыкальные интервалы не есть продукт исторического развития и сложившихся в обществе музыкальных привычек, как полагают некоторые. Напротив, это вполне объективное, физическое явление, подчиняющееся объективным физическим законам, которые и обусловливают законы музыкального языка и его развития в исторической перспективе.
Во-вторых: абсолютно бессмысленное занятие делить интервалы на консонантные и диссонантные по каким-либо субъективным критериям. Для человека с нормально развитым гармоническим слухом малая секунда, насыщенная обер- и унтертонами, может звучать устойчивее и слаще, чем пустая и пресная октава. (Только не надо думать, что привычная нам по клавишным инструментам равномерно темперированная малая секунда имеет какое-либо отношение к настоящей).
В третьих: количество возникающих в нелинейной среде интервалов ограничено только степенью нелинейности среды, т.е. степенью развития гармонического слуха применительно к слуховому аппарату человека (что будет показано ниже).
Приведенный график построен для степени нелинейности равной 15. И это далеко не предел для хорошего музыканта. Но даже для этой степени нелинейности видно, что рядом с интервалом большая секунда с интервальным коэффициентов 1,12, существуют большие секунды с коэффициентами 1,11 и 1,126, а интервал малая терция 1,2 окружена малыми терциями 1,17; 1,18; 1,19; 1,20 и 1,22. Аналогичная ситуация возникает вокруг интервала большая терция. А вот интервалы кварта, тритон, квинта и октава таких спутников не имеют. Эти близкие к основному интервалу звуки широко используются, например, в индийской музыке и называются «шрутти». Интуитивно они используются и джазовыми музыкантами, играющими на инструментах технически позволяющих точное интонирование. Шрутти также имеют принципиальное значение для объяснения структуры аккордов, на чем мы сейчас и остановимся.
Рассмотрим обертоново-унтертоновый состав интервалов с помощью графика (рис. 3), используя процедуру, описанную выше.
Прежде всего, заметим, что значительное количество обер- и унтертонов не совпадает с положением нот натурального строя, принятого на графике. Для того чтобы первые можно было более или менее точно нотировать, введем знаки ↑ и ↓, означающие повышение и понижение звука примерно на 1/8 тона. Знаки эти будем использовать так же, как используются знаки «диез» и «бемоль».
Далее. Сгруппируем тона, обертоны и унтертоны по интенсивности, условно деля их на 3 группы – сильные, средние и слабые. Данные по интенсивности можно получить из косвенных соображений или из усредненных результатов эксперимента, так как определение их теоретических значений требует знания точной формы передаточной характеристики слухового аппарата, что практически не представляется возможным.
Для того чтобы не загромождать анализ непринципиальными подробностями, ограничимся звуковысотным диапазоном в три октавы – малой, первой и второй. Вне этого диапазона унтертоны очень слабы, а обертоны возрастают по полу- и четверть тонам.
Поскольку в европейской музыке сложилась терцовая система аккордов, в первую очередь рассмотрим интервалы малой и большой терций.
На рис. 4 представлены тоны, унтер- и обертоны, образованные самой «узкой» малой терцией, интервальный коэффициент которой равен 1,17.
Использовалась статья с сайта http://www.all-2music.com